Question

4．已知α∈（0，π），且sinα+cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，则sin2α=-$\frac{4}{5}$，cos2α=-$\frac{3}{5}$，cosα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由已知两边平方，利用二倍角公式可得sin2α的值，由α∈（0，π），可得sinα＞0，进而可得sinα-cosα的值，联立可求cosα的值，利用二倍角的余弦函数公式即可得解cos2α的值．

解答 解：∵sinα+cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，①
∴两边平方可得：sin²α+cos²α+2sinαcosα=1+sin2α=$\frac{1}{5}$，解得：sin2α=2sinαcosα=-$\frac{4}{5}$，
∵α∈（0，π），sinα＞0，
∴cosα＜0，可得sinα-cosα＞0，
∴sinα-cosα=$\sqrt{（sinα-cosα）^{2}}$=$\sqrt{1-2sinαcosα}$=$\sqrt{1-（-\frac{4}{5}）}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，②
∴①-②可得：cosα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴cos2α=2cos²α-1=2×（-$\frac{\sqrt{5}}{5}$）²-1=-$\frac{3}{5}$．
故答案为：-$\frac{4}{5}$，-$\frac{3}{5}$，-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查了二倍角正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，平方差公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．