Question

20．已知O是正三角形ABC内部一点，$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，在三角形ABC内随机撒一粒黄豆，落在三角形AOC内的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$变形为$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OC}$=-2$\overrightarrow{OB}$．以$\overrightarrow{OA}$、3$\overrightarrow{OC}$所在的线段OA、OE为邻边作平行四边形OAFE．
设对角线OF与AC交与点D．利用向量的平行四边形法则和平行四边形的性质可得$\frac{OD}{BD}$=$\frac{1}{3}$，△AOC与△ABC的面积的比值=$\frac{1}{3}$．进而得出在三角形ABC内随机撒一粒黄豆，落在三角形AOC内的概率．

解答 解：如图所示，
由$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$变形为$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OC}$=-2$\overrightarrow{OB}$．
以$\overrightarrow{OA}$、3$\overrightarrow{OC}$所在的线段OA、OE为邻边作平行四边形OAFE．
设对角线OF与AC交与点D．
则$\overrightarrow{OF}$=-2$\overrightarrow{OB}$．
∴$\frac{OD}{DF}=\frac{OC}{AF}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{OD}{2OB-OD}$=$\frac{1}{3}$，化为$\frac{OD}{OB}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{OD}{BD}$=$\frac{1}{3}$．
∴△AOC与△ABC的面积的比值=$\frac{1}{3}$．
∴在三角形ABC内随机撒一粒黄豆，落在三角形AOC内的概率为$\frac{1}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了向量的平行四边形法则和平行四边形的性质，考查了作辅助线的重要性和技巧，属于难题．