Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，椭圆C的长轴长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：y=kx+ 与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设椭圆的焦半距为c，则由题设，得： ，

解得 所以b2=a2﹣c2=4﹣3=1，

故所求椭圆C的方程为 +x2=1．

（2）解：存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．

理由如下：

设点A（x1，y1），B（x2，y2），

将直线l 的方程y=kx+ 代入 +x2=1，

并整理，得（k2+4）x2+2 kx﹣1=0．（*）

则x1+x2=﹣ ，x1x2=﹣ ．

因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，

所以 =0，即x1x2+y1y2=0．

又y1y2=k2x1x2+ k（x1+x2）+3，

于是﹣ ﹣ +3=0，解得k=± ，

经检验知：此时（*）式的△＞0，符合题意．

所以当k=± 时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．

【解析】（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得： ，解得a，b，c值，可得椭圆C的方程；（2）设点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），将直线l 的方程y=kx+ 代入 +x2=1，利用韦达定理，及向量垂直的充要条件，可求出满足条件的k值．