Question

5．已知直线l：y=a（x-1）与圆C：（x+1）²+（y+a）²=1交于A、B两点．
（1）若△ABC为正三角形，求a的值；
（2）设P（0，$\sqrt{3}$），Q是圆C上一动点，当点P到直线l的距离最大时，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）△ABC为正三角形点C到直线l的距离d=$\frac{|a（-1-1）+a|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可求a的值；
（2）利用|PQ|_min=|PC|-r，即可求|PQ|的最小值．

解答 解：（1）由题意，点C到直线l的距离d=$\frac{|a（-1-1）+a|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a=±$\sqrt{3}$；
（2）直线l：y=a（x-1）过定点T（1，0），∴点P到直线l的距离d≤|PT|，
d=|PT|事，k_PT•a=-1，∴a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴|PC|=$\sqrt{（-1）^{2}+（-\frac{\sqrt{3}}{3}-\sqrt{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{57}}{3}$，
∴|PQ|_min=|PC|-r=$\frac{\sqrt{57}}{3}$-1．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．