Question

已知向量

a

=(1，  cosθ)，  

b

=(1，  -cosθ)，  

c

=(

2

3

， 1)，若不等式

a

•

b

≤t(2

a

+

b

)•

c

对θ∈[0， 

π

2

]恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

• A．[4-2

  3

  ，  +∞)
• B．[0，+∞）
• C．[

  1

  2

  ，  +∞)
• D．(-∞，  

  1

  2

  ]

Answer 1

分析：由

a

•

b

≤t(2

a

+

b

)•

c

代入整理可得t≥

1-cos2θ

2+cosθ

对θ∈[0， 

π

2

]恒成立则t≥

1-cos2θ

2+cosθ

的最大值，结合函数的单调性即可求解

解答：解：∵

a

=(1，  cosθ)，  

b

=(1，  -cosθ)，  

c

=(

2

3

， 1)，
且

a

•

b

≤t(2

a

+

b

)•

c

∴（2

a

+

b

）•

c

=（3，cosθ）•（

2

3

，1）=2+cosθ
∴1-cos²θ≤2t+tcosθ对θ∈[0， 

π

2

]恒成立
则t≥

1-cos2θ

2+cosθ

对θ∈[0， 

π

2

]恒成立
设f（θ）=

1-cos2θ

2+cosθ

═

-(cosθ+2)2+4(cosθ+2)-3

cosθ+2

=-[（cosθ+2）+

3

cosθ+2

]+4，θ∈[0， 

π

2

]
令t=cosθ+2，t∈[2，3]，则f（t）=-（t+

3

t

）+4在[2，3]上单调递减
当t=2时，f（t）_max=

1

2

∴t≥

1

2

故选C

点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示的应用，函数的恒成立与函数的最值求解的相互转化，及利用函数的单调性求解函数的最值，解题的关键是函数的单调性的应用