Question

6．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且b²-ac=a²．
（1）求证：sinB=sin2A；
（2）若A=$\frac{π}{12}$，a=1，求c的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理边化角，使用和差化积公式和二倍角公式化简得出A，B的关系；
（2）利用（1）的结论得出A，B，计算C，使用正弦定理得出c．

解答 解：∵b²-ac=a²，∴b²-a²=ac，即sin²B-sin²A=sinAsinC．
∴（sinB+sinA）（sinB-sinA）=sinAsinC．
∴2sin$\frac{B+A}{2}$cos$\frac{B-A}{2}$×2cos$\frac{B-A}{2}$sin$\frac{B+A}{2}$=sinAsinC．
∴sin（B+A）sin（B-A）=sinAsinC．
∵sin（B+A）=sinC，
∴sin（B-A）=sinA．
∴B-A=A或B-A+A=π（舍）．
∴B=2A．
∴sinB=sin2A．
（2）由（1）知B=2A=$\frac{π}{6}$，∴C=$π-\frac{π}{12}-\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{4}$．
∴sinA=sin$\frac{π}{12}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，sinC=sin$\frac{3π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，
∴c=$\frac{asinC}{sinA}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$=$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦定理，属于中档题．