Question

20．如图，半圆AOB是某市休闲广场的平面示意图，半径OA的长为10，管理部门在A，B两处各安装好一个光源，其相应的光强度分别为4和9，根据光学原理，地面上某处照度y与光强度I成正比，与光源距离x的平方成反比，即y=$\frac{kI}{{x}^{2}}$（k为比例系数），经测量，在弧AB的中心C处的照度为130．（C处的照度为A，B两处光源的照度之和）
（1）求比例系数k的值；
（2）现在管理部门计划在半圆弧AB上，照度最小处增设一个光源P，试问新增光源P安装在什么位置？

Answer 1

分析 （1）半径为r=10，BC=AC=10$\sqrt{2}$，可得y=$\frac{kI}{{x}^{2}}$，点C受光源A的照度为$\frac{k×4}{100×2}$，点C受光源B的照度为$\frac{k×9}{100×2}$，可得$\frac{k×4}{100×2}$+$\frac{k×9}{100×2}$=130，解出即可得出．
（2）由（1）可得y=$\frac{2000I}{{x}^{2}}$，设新增光源P距离AP=x处，可得y=$\frac{2000×4}{{x}^{2}}$+$\frac{2000×9}{400-{x}^{2}}$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵半径为r=10，
∴BC=AC=10$\sqrt{2}$
∵y=$\frac{kI}{{x}^{2}}$，
则点C受光源A的照度为$\frac{k×4}{100×2}$，
点C受光源B的照度为$\frac{k×9}{100×2}$，
∴$\frac{k×4}{100×2}$+$\frac{k×9}{100×2}$=130，
解得k=2000
（2）由（1）可得y=$\frac{2000I}{{x}^{2}}$，
设新增光源P距离AP=x处，
则y=$\frac{2000×4}{{x}^{2}}$+$\frac{2000×9}{400-{x}^{2}}$，
∴y=5[x²+（400-x²）]$（\frac{4}{{x}^{2}}+\frac{9}{400-{x}^{2}}）$=5$[13+\frac{4（400-{x}^{2}）}{{x}^{2}}+\frac{9{x}^{2}}{400-{x}^{2}}]$≥5•$（13+2\sqrt{\frac{4（400-{x}^{2}）}{{x}^{2}}×\frac{9{x}^{2}}{400-{x}^{2}}}）$=125，当且仅当x=4$\sqrt{10}$时取等号．
新增光源P安装在距离点A出4$\sqrt{10}$时．

点评 本题主要考查了函数模型的选择与应用、基本不等式的性质、函数的最值的求解，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．