Question

10．已知a≥1，f（x）=-sinxcosx+a（sinx+cosx）-1．
（1）求当a=1时，f（x）的值域；
（2）若函数f（x）在[0，π]内有且只有一个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，可得f（x）=g（t）=-$\frac{1}{2}$•（t-1）²，由此求得函数f（x）的值域．
（2）令u=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），则$u∈[-1，\sqrt{2}]$，问题等价于h（u）=-$\frac{1}{2}$•（μ-a）²+$\frac{{a}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$ 在$[-1，1）∩\{\sqrt{2}\}$内有且只有一个零点，在$[1，\sqrt{2}）$无零点．再利用二次函数的性质分类讨论求得a的范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=-sinxcosx+sinx+cosx-1，令t=sinx+cosx，
则$t∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，$sinxcosx=\frac{{{t^2}-1}}{2}$，$g（t）=-\frac{{{t^2}-1}}{2}+t-1=-\frac{1}{2}{（t-1）^2}$，
当t=1时，g（t）_max=0，当$t=-\sqrt{2}$时，$g{（t）_{min}}=-\frac{3}{2}-\sqrt{2}$，
所以f（x）的值域为$[-\frac{3}{2}-\sqrt{2}，0]$．
（2）f（x）=-sinxcosx+a（sinx+cosx）-1，
令u=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），则当x∈[0，π]时，x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，$u∈[-1，\sqrt{2}]$，
$sinxcosx=\frac{{{u^2}-1}}{2}$，$h（u）=-\frac{{{u^2}-1}}{2}+au-1=-\frac{1}{2}{（u-a）^2}+\frac{1}{2}{a^2}+\frac{1}{2}$，
f（x）在[0，π]内有且只有一个零点，
等价于h（u）在$[-1，1）∩\{\sqrt{2}\}$内有且只有一个零点，在$[1，\sqrt{2}）$无零点．
因为a≥1，∴h（u）在[-1，1）内为增函数，
①若h（u）在[-1，1）内有且只有一个零点，$[1，\sqrt{2}）$无零点，
故只需$\left\{\begin{array}{l}h（1）＞0\\ h（-1）≤0\\ h（\sqrt{2}）＞0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a-1＞0\\-a-1≤0\\ \sqrt{2}a-\frac{3}{2}＞0\end{array}\right.$得$a＞\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．
②若$\sqrt{2}$为h（μ）的零点，则h（μ）在$[1，\sqrt{2}）$内无零点，
则$\sqrt{2}a-\frac{3}{2}=0$，得$a=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$，经检验，$a=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$不符合题意．
综上，$a＞\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦函数的值域，函数的单调性与零点的定义、二次函数的性质，属于中档题．