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过点(1,0)的直线l与中心在原点,焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于AB两点,直线y=x过线段AB的中点,同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称,试求直线l与椭圆C的方程.
所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=-x+1
解法一: 由e=,得,从而a2=2b2,c=b.
设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.
x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得,(x12x22)+2(y12y22)=0,
AB中点为(x0,y0),则kAB=-,又(x0,y0)在直线y=x上,y0=x0,于是-=-1,kAB=-1,设l的方程为y=-x+1.
右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),

由点(1,1-b)在椭圆上,得1+2(1-b)2=2b2,b2=.
∴所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=-x+1.
解法二: 由e=,从而a2=2b2,c=b.
设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x-1),
l的方程代入C的方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=-.
直线l: y=xAB的中点(),则,解得k=0,或k=-1.
k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身,不能在椭圆C上,所以k=0舍去,从而k=-1,直线l的方程为y=-(x-1),即y=-x+1,以下同解法一.
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