Question

设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若过、、三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆的方程；

（3）在（2）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于、两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围，如果不存在，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）;（2）;（3）

【解析】(1)设Q（x₀，0），由（c，0），A（0，b）,知     

，由 ,可知为中点．

从而得到,，进一步计算可求出记心率的值.

（2）由⑴知，可求出△AQF的外接圆圆心为（-，0），半径r=|FQ|=,

所以再利用圆心到直线l的距离等于半径a,可得到关于a的方程解出a值，从而得到椭圆C的方程.

(3) 设，平行四边形是菱形可转化为, ,

所以,则,然后直线MN与椭圆方程联立，消y，再借助韦达定理来解决即可.

解：（1）设Q（x₀，0），由（c，0），A（0，b）

知 

，

由于 即为中点．

故，  

故椭圆的离心率             （4 分）

（2）由⑴知得于是（，0） Q，

△AQF的外接圆圆心为（-，0），半径r=|FQ|=

所以，解得=2，∴c =1，b=， 

所求椭圆方程为           （8 分）

（3）由（Ⅱ）知     ：

  代入得

设，

则，        （10分）

由于菱形对角线垂直，则                  

故       

则

       （12分）

由已知条件知且          

    

故存在满足题意的点P且的取值范围是．   （13分）