【题目】如图,多面体中,
,平面
⊥平面
,四边形
为矩形,
∥
,点
在线段
上,且
.
(1)求证:⊥平面
;
(2)若,求多面体
被平面
分成的大、小两部分的体积比.
【答案】(1)证明见解析(2) 11:1
【解析】
(1)由勾股定理逆定理证得,再由面面垂直的性质定理得线面垂直;
(2)连接EB,AE. 多面体被分为
四个三棱锥,由它们之间的体积关系可求得比值.
(1)因为四边形ABCD为矩形,所以CD=AB.
因为AB=DE=2,所以CD=DE=2.
因为点G在线段CE上,且EG=2GC=AB,所以EC=
AB=
CD=
所以,即
又平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE平面ABCD=CD,DE
平面CDE,
所以DE⊥平面ABCD.
(2)设三棱锥G-BCD的体积为1,连接EB,AE.
因为EG=2GC,所以CG=EC,所以
.
易知
又EF=2BC,BC∥EF,所以,故
又,所以
故
故多面体ABCDEF被平面BDG分成的大、小两部分的体积比为11:1.
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【题目】由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪,直到1872年,德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”,才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集划分为两个非空的子集
与
,且满足
,
,
中的每一个元素都小于
中的每一个元素,则称
为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割
,下列选项中不可能成立的是
A.没有最大元素,
有一个最小元素
B.没有最大元素,
也没有最小元素
C.有一个最大元素,
有一个最小元素
D.有一个最大元素,
没有最小元素
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【题目】已知函数.
(1)若,且
在
上存在零点,求实数
的取值范围;
(2)若对任意,存在
使
,求实数
的取值范围;
(3)若存在实数,使得当
时,
恒成立,求实数
的最大值.
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【题目】如图,是一个三棱锥,
是圆的直径,
是圆上的点,
垂直圆所在的平面,
,
分别是棱
,
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)若二面角是
,
,求
与平面
所成角的正弦值.
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【题目】如图,直三棱柱的底面
是等腰直角三角形,
,侧棱
底面
,且
,
是
的中点.
(1)求直三棱柱的全面积;
(2)求异面直线与
所成角
的大小(结果用反三角函数表示);
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【题目】对于函数,若存在正常数
,使得对任意的
,都有
成立,我们称函数
为“
同比不减函数”.
(1)求证:对任意正常数,
都不是“
同比不减函数”;
(2)若函数是“
同比不减函数”,求
的取值范围;
(3)是否存在正常数,使得函数
为“
同比不减函数”,若存在,求
的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2acosB=2c﹣b.
(1)求∠A的大小;
(2)若△ABC的外接圆的半径为,面积为
,求△ABC的周长.
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【题目】随着金融市场的发展,越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段,下面将A市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如下图所示.
(1)求把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数;(结果用小数表示,小数点后保留两位有效数字)
(2)现按照分层抽样的方法从年龄在和
的投资者中随机抽取5人,再从这5人中随机抽取3人进行投资调查,求恰有1人年龄在
的概率.
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