【题目】如图,是一个三棱锥,是圆的直径,是圆上的点,垂直圆所在的平面,,分别是棱,的中点.
(1)求证:平面;
(2)若二面角是,,求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)可证,,再利用可得,,从而可证平面.
(2)可证为二面角的平面角,再以为坐标原点,,,方向分别为轴,轴,轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系. 求出平面的法向量和直线的方向向量后可求与平面所成角的正弦值.
(1)因为是圆的直径,所以.
因为垂直圆所在的平面,且在该平面中,所以.
因为,分别是棱,的中点,
所以,所以,
又因为,所以有平面.
(2)由(1)可知,,,
所以为二面角的平面角,
从而有,则.
又,,得.
以为坐标原点,,,方向分别为轴,轴,轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
则,,,
,,,
,,
.
设是平面的法向量,则
即可取.
故.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
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【题目】为了了解居民的家庭收人情况,某社区组织工作人员从该社区的居民中随机抽取了户家庭进行问卷调查.经调查发现,这些家庭的月收人在元到元之间,根据统计数据作出如图所示的频率分布直方图.已知图中从左至右第一 、二、四小组的频率之比为,且第四小组的频数为.
(1)求;
(2)求这户家庭月收人的众数与中位数(结果精确到);
(3)这户家庭月收入在第一、二、三小组的家庭中,用分层抽样的方法任意抽取户家庭,并从这户家庭中随机抽取户家庭进行慰问,求这户家庭月收入都不超过元的概率.
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【题目】几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件,为激发大家的学习兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动,这款软件的激活码为下列数学问题的答案:已知数列1、1、2、1、2、4、8、1、2、4、8、16、……,其中第一项是,接下来的两项是,再接下来的三项是,……,以此类推,求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为2的整数幂,那么该软件的激活码是________。
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【题目】已知四边形为正方形,平面,四边形与四边形也都为正方形,连接,点为的中点,有下述四个结论:
①; ②与所成角为;
③平面; ④与平面所成角为.
其中所有正确结论的编号是( )
A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④
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【题目】某创业团队拟生产两种产品,根据市场预测,产品的利润与投资额成正比(如图1),产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2).(注: 利润与投资额的单位均为万元)
(注:利润与投资额的单位均为万元)
(1)分別将两种产品的利润、表示为投资额的函数;
(2)该团队已筹集到10 万元资金,并打算全部投入两种产品的生产,问:当产品的投资额为多少万元时,生产两种产品能获得最大利润,最大利润为多少?
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【题目】已知抛物线:过点,为其焦点,过且不垂直于轴的直线交抛物线于,两点,动点满足的垂心为原点.
(1)求抛物线的方程;
(2)求证:动点在定直线上,并求的最小值.
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【题目】如图,在四棱锥中,已知四边形是边长为的正方形,点在底面上的射影为底面的中心点,点在棱上,且的面积为1.
(1)若点是的中点,求证:平面平面;
(2)在棱上是否存在一点使得二面角的余弦值为?若存在,求出点的位置;若不存在,说明理由.
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