【题目】已知抛物线:
过点
,
为其焦点,过
且不垂直于
轴的直线
交抛物线
于
,
两点,动点
满足
的垂心为原点
.
(1)求抛物线的方程;
(2)求证:动点在定直线
上,并求
的最小值.
【答案】(1)(2)证明见解析,
的最小值为
【解析】
(1)直接将代入抛物线方程即可得到答案;
(2)设直线方程为,联立方程,表示出
,运用基本不等式即可得到结论.
(1)由题意,将点代入
,
即,解得
,
所以,抛物线的方程为
.
(2)解析1:(巧设直线)
证明:设:
,
,
,联立
,可得
,则有
,可设
:
,即
,同理
:
,解得
,即动点
在定直线
:
上.
,当且仅当
时取等号.其中
,
分别为点
和点
到直线
的距离.
(2)解析2:(利用向量以及同构式)
证明:设:
,
,
,联立
,可得
,则有
.
,
,又
为
的垂心,从而
,代入化简得:
,同理:
,从而可知,
,
是方程
的两根,所以
,所以动点
在定直线
:
上.
,当且仅当
时取等号.其中
,
分别为点
和点
到直线
的距离.
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【题目】已知椭圆:
的一个焦点为
,离心率为
.
(1)求的标准方程;
(2)若动点为
外一点,且
到
的两条切线相互垂直,求
的轨迹
的方程;
(3)设的另一个焦点为
,过
上一点
的切线与(2)所求轨迹
交于点
,
,求证:
.
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【题目】如图,是一个三棱锥,
是圆的直径,
是圆上的点,
垂直圆所在的平面,
,
分别是棱
,
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)若二面角是
,
,求
与平面
所成角的正弦值.
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【题目】对于函数,若存在正常数
,使得对任意的
,都有
成立,我们称函数
为“
同比不减函数”.
(1)求证:对任意正常数,
都不是“
同比不减函数”;
(2)若函数是“
同比不减函数”,求
的取值范围;
(3)是否存在正常数,使得函数
为“
同比不减函数”,若存在,求
的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】对于定义域为R的函数,若函数
是奇函数,则称
为正弦奇函数.已知
是单调递增的正弦奇函数,其值域为R,
.
(1)已知是正弦奇函数,证明:“
为方程
的解”的充要条件是“
为方程
的解”;
(2)若,求
的值;
(3)证明:是奇函数.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2acosB=2c﹣b.
(1)求∠A的大小;
(2)若△ABC的外接圆的半径为,面积为
,求△ABC的周长.
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【题目】为了鼓励职员工作热情,某公司对每位职员一年来的工作业绩按月进行考评打分;年终按照职员的月平均值评选公司最佳职员并给予相应奖励.已知职员一年来的工作业绩分数的茎叶图如图所示:
(1)根据职员的业绩茎叶图求出他这一年的工作业绩的中位数和平均数;
(2)由于职员的业绩高,被公司评为年度最佳职员,在公司年会上通过抽奖形式领取奖金.公司准备了六张卡片,其中一张卡片上标注奖金为6千元,两张卡片的奖金为4千元,另外三张的奖金为2千元.规则是:获奖职员
需要从六张卡片中随机抽出两张,这两张卡片上的金额数之和作为奖金数.求职员
获得奖金6千元的概率;并说明获得奖金6千元和8千元哪个可能性较大?
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【题目】已知等差数列{bn}的前n项和为Tn,且T4=4,b5=6.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)若正整数n1,n2,…,nt,…满足5<n1<n2<…<nt,…且b3,b5,,
,…,
,…成等比数列,求数列{nt}的通项公式(t是正整数);
(3)给出命题:在公比不等于1的等比数列{an}中,前n项和为Sn,若am,am+2,am+1成等差数列,则Sm,Sm+2,Sm+1也成等差数列.试判断此命题的真假,并证明你的结论.
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为
(
为参数),以
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的
倍(横坐标不变)得到曲线
,求
的参数方程;
(2)若,
分别是直线
与曲线
上的动点,求
的最小值.
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