Question

17．设函数f（x）=$\frac{{e}^{x}-a}{x}$-alnx（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=e^x（x²-3x+3），当a≤1时，若存在x₁∈（0，+∞），使得对任意x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）≤g（x₂），求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，求出函数的导数，求出函数的最小值，得到关于a的不等式，求出a的范围即可．

解答 解：f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{（x-1）{（e}^{x}-a）}{{x}^{2}}$，
（Ⅰ）a≤1时，则e^x-a≥0，
由f′（x）＞0，得x＞1，由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
当1＜a＜e时，由f′（x）＞0，得0＜x＜lna或x＞1，
由f′（x）＜0，得lna＜x＜1，
故f（x）在（lna，1）递减，在（0，lna），（1，+∞）递增，
a=e时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增，
a＞e时，由f′（x）＞0，得0＜a＜1或x＞lna，
由f′（x）＜0，得1＜x＜lna，
故f（x）在（1，lna）递减，在（0，1），（lna，+∞）递增，
（Ⅱ）∵x∈（0，+∞），a≤1，
故由（Ⅰ）得f（x）在（0，+∞）上的最小值是f（1）=e-a，
又g′（x）=x（x-1）e^x，故x∈（0，1）时，g′（x）＜0，
x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，
故g（x）_min=g（1）=e，
由题意得：e-a≤e，即a≥0，
故0≤a≤1即a的范围是[0，1]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．