Question

7．已知a，b∈R，a＞b，若2a²-ab-b²-4=0，则2a-b的最小值为$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 a＞b，2a²-ab-b²-4=0，可得（2a+b）（a-b）=4.2a-b=$\frac{1}{3}[（2a+b）+4（a-b）]$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a＞b，2a²-ab-b²-4=0，∴（2a+b）（a-b）=4．
令m（2a+b）+n（a-b）=2a-b，解得，m=$\frac{1}{3}$，n=$\frac{4}{3}$．
则2a-b=$\frac{1}{3}[（2a+b）+4（a-b）]$≥$\frac{1}{3}×2\sqrt{（2a+b）•4（a-b）}$=$\frac{8}{3}$，
当且仅当2a+b=4（a-b）=4，即a=$\frac{5}{3}$，b=$\frac{2}{3}$时取等号．
∴2a-b的最小值为$\frac{8}{3}$．
故答案为：$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质、方程思想、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．