Question

16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，$B=\frac{2π}{3}$，若a²+c²=4ac，则$\frac{{sin（{A+C}）}}{sinAsinC}$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=4ac-2ac×$（-\frac{1}{2}）$=5ac，再利用正弦定理可得sin²B=5sinAsinC．即可得出．

解答 解：由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=4ac-2ac×$（-\frac{1}{2}）$=5ac，
∴sin²B=5sinAsinC．
∴$\frac{{sin（{A+C}）}}{sinAsinC}$=$\frac{5sinB}{si{n}^{2}B}$=$\frac{5}{sinB}$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式、三角形内角和定理与诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．