Question

6．已知点$A（\sqrt{3}，0）$，点P是圆${（x+\sqrt{3}）^2}+{y^2}=16$上的任意一点，设Q为该圆的圆心，并且线段PA的垂直平分线与直线PQ交于点E．
（1）求点E的轨迹方程；
（2）已知M，N两点的坐标分别为（-2，0），（2，0），点T是直线x=4上的一个动点，且直线TM，TN分别交（1）中点E的轨迹于C，D两点（M，N，C，D四点互不相同），证明：直线CD恒过一定点，并求出该定点坐标．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的定义即可得出E的轨迹方程；
（2）设CD方程x=my+n，代入椭圆方程消元，得出C，D坐标的关系，求出TM，TN的方程，根据交点横坐标为4得出恒等式，从而得出n的值，即得出直线CD的定点坐标．

解答 解：（1）∵|EA|+|QE|=|EQ|+|PE|=4，且|QA|=2$\sqrt{3}$＜4，
∴点E的轨迹是以A，Q为焦点的椭圆，
设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，则2a=4，c=$\sqrt{3}$，∴a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1．
所以点E的轨迹方程为：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）依题意设直线CD的方程为：x=my+n，
代入椭圆方程x²+4y²=4得：（4+m²）y²+2mny+（n²-4）=0
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则${y_1}+{y_2}=-\frac{2mn}{{4+{m^2}}}$，${y_1}{y_2}=\frac{{{n^2}-4}}{{4+{m^2}}}$．
∵直线TM方程为$y=\frac{y_1}{{{x_1}+2}}（x+2）$，直线TN方程为$y=\frac{y_2}{{{x_2}-2}}（x-2）$，
由题知TM，TN的交点T的横坐标为4，∴$\frac{{3{y_1}}}{{{x_1}+2}}=\frac{y_2}{{{x_2}-2}}$，即3y₁（x₂-2）=y₂（x₁+2），
即：3y₁（my₂+n-2）=y₂（my₁+n+2），整理得：2my₁y₂=（n+2）y₂-3（n-2）y₁，
∴$\frac{{2m（{n^2}-4）}}{{4+{m^2}}}=（n+2）（\frac{-2mn}{{4+{m^2}}}-{y_1}）-3（n-2）{y_1}$
化简可得：$（n-1）[m（n+2）+{y_1}（4+{m^2}）]=0$．
∵当m，y₁变化时，上式恒成立，∴n=1，
∴直线CD恒过一定点（1，0）．

点评 本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．