Question

11．已知函数f（x）=cos2x，二次函数g（x）满足g（0）=4，且对任意的x∈R，不等式-3x²-2x+3≤g（x）≤4x+6成立，则函数f（x）+g（x）的最大值为（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 4
• D． 7

Answer 1

分析 根据不等式恒成立，求出函数g（x）的解析式，利用二次函数的最值性质以及余弦函数的最值性质进行求解即可．

解答 解：∵二次函数g（x）满足g（0）=4，
∴设g（x）=ax²+bx+4，
由-3x²-2x+3≤4x+6得3x²+6x+3≥0即3（x+1）²≥0，
即当x=-1时，3（x+1）²=0，此时直线y=4x+6与y=-3x²-2x+3相切，切点为（-1，2），
此时g（x）过（-1，2），则a-2b+4=2，得b=$\frac{a}{2}$+1，
即g（x）=ax²+（$\frac{a}{2}$+1）x+4，
由-3x²-2x+3≤g（x）≤4x+6恒成立得
-3x²-2x+3≤ax²+（$\frac{a}{2}$+1）x+4≤4x+6，
由-3x²-2x+3≤ax²+（$\frac{a}{2}$+1）x+4得（a+3）x²+（$\frac{a}{2}$+3）x+1≥0恒成立，当a=-3时，不满足条件．
当a≠-3时，$\left\{\begin{array}{l}{a+3＞0}\\{△=（\frac{a}{2}+3）^{2}-4（a+3）=\frac{{a}^{2}}{4}-a-3≤0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a＞-3}\\{-2≤a≤6}\end{array}\right.$得-2≤a≤6，
由ax²+（$\frac{a}{2}$+1）x+4≤4x+6得ax²+（$\frac{a}{2}$-3）-2≤0恒成立，当a=0时，不满足条件．
当a≠0时，$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△=（\frac{a}{2}-3）^{2}+8a=\frac{{a}^{2}}{4}+5a+19≤0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{-18≤a≤-2}\end{array}\right.$，得-18≤a≤-2，
综上a=-2，
则g（x）=-2x²+4，当x=0时函数g（x）取得最大值4，
而当x=0时，f（x）=cos2x也取得最大值1，
则函数f（x）+g（x）=cos2x-2x²+4的最大值为1+4=5，
故选：A

点评 本题主要考查函数最值的求解，根据不等式恒成立，利用待定系数法求出函数的解析式是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．