Question

9．等比数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}•{3^{n+1}}$+c（c为常数），若λa_n≤3+S_2n恒成立，则实数λ的最大值是（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 由等比数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}•{3^{n+1}}$+c（c为常数），求出c=-$\frac{3}{2}$，a₁=3，q=3，从而a_n=3ⁿ，${S}_{n}=\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{3}{2}（{3}^{n}-1）$，由λa_n≤3+S_2n恒成立，求出λ≤$\frac{3}{2}$（3ⁿ+$\frac{1}{{3}^{n}}$）恒成立，由此能求出实数λ的最大值．

解答 解：∵等比数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}•{3^{n+1}}$+c（c为常数），
∴a₁=S₁=$\frac{1}{2}×{3}^{2}+c=\frac{9}{2}+c$，
a₂=S₂-S₁=（$\frac{1}{2}•{3}^{3}+c$）-（$\frac{9}{2}+c$）=9，
a₃=S₃-S₂=（$\frac{1}{2}×{3}^{4}+c$）-（$\frac{1}{2}×{3}^{3}+c$）=27，
∵a₁，a₂，a₃成等比数列，∴${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$，
解得9²=（$\frac{9}{2}+c$）×27，解得c=-$\frac{3}{2}$．
∴a₁=3，q=3，∴a_n=3ⁿ，
${S}_{n}=\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{3}{2}（{3}^{n}-1）$，
∵λa_n≤3+S_2n恒成立，∴λ•3ⁿ≤3+$\frac{3}{2}（{3}^{2n}-1）$=$\frac{3}{2}（{3}^{2n}+1）$恒成立，
∴λ≤$\frac{3}{2}$（3ⁿ+$\frac{1}{{3}^{n}}$）恒成立，
当n=1时，$\frac{3}{2}（{3}^{n}+\frac{1}{{3}^{n}}）=\frac{3}{2}×\frac{10}{3}=5$，
∴实数λ的最大值是5．
故选：C．

点评 本题考查实数最大值的求法，考查数列不等式的应用，涉及到数列的前n项和与数列中的项的关系、等比数列的性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．