Question

19．如果一个n位十进制数$\overline{{a}_{1}{a}_{2…}{a}_{n}}$的数位上的数字满足“小大小大…小大”的顺序，即满足：a₁＜a₂＞a₃＜a₄＞a₅＜a₆…，我们称这种数为“波浪数”；从1，2，3，4，5组成的数字不重复的五位数中任取一个五位数$\overline{abcde}$，这个数为“波浪数”的概率是（　　）

• A． $\frac{1}{10}$
• B． $\frac{2}{15}$
• C． $\frac{1}{5}$
• D． $\frac{4}{15}$

Answer 1

分析 根据题意，分析可得在“波浪数”中，十位数字，千位数字中必有一个是5、另一数是3或4；据此分2种情况讨论，分别求出每种情况下的“波浪数”的个数，由分类计数原理计算可得答案．

解答 解：根据题意，分析可得在“波浪数”中，十位数字，千位数字中必有一个是5、另一数是3或4；
另一数是4时，将5与4放在千位、十位上，有A₂²种情况，剩余的1、2、3放在其余三个数位上，有A₃³种情况，
则此时的“波浪数”有A₂²A₃³=12个；
另一数3时，4、5必须相邻，有45132；45231；13254；23154四个“波浪数”．
则由1，2，3，4，5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为12+4=16；
可得：这个数为“波浪数”的概率是$\frac{16}{5×4×3×2×1}$=$\frac{2}{15}$．
故选：B．

点评 本题考查排列组合及简单计数问题，解题的关键是理解“波浪数”的含义，进而转化为排列、组合问题．