Question

8．过点P（2，0）的直线交抛物线y²=4x于A，B两点，若抛物线的焦点为F，则△ABF面积的最小值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 方法一：分类讨论，当直线l的斜率不存在时，求得A和B点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得△ABF面积，当直线斜率存在时，设直线l的方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得△ABF面积的取值范围，综上即可求得△ABF面积的最小值；
方法二：设直线AB：x=my+2，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得三角形的面积的最小值．

解答 解：方法一：抛物线y²=4x焦点F（1，0），
当直线l的斜率不存在时，此时将x=2代入抛物线C：y²=4x中，得y²=8，解得y=±2$\sqrt{2}$，
则点A，B的坐标为（2，2$\sqrt{2}$），（2，-2$\sqrt{2}$），
∴△ABF面积S=$\frac{1}{2}$×1×丨AB丨=2$\sqrt{2}$，
当直线的存在，且不为0，设直线AB：y=k（x-2）．
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（y₁＞0，y₂＜0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去y，得k²x²-（4k²+4）x+4k²=0，且△=32k²+16＞0，
则由韦达定理，x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=4，y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-8，
∴△ABF面积S=$\frac{1}{2}$×丨PF丨×丨y₁-y₂丨=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{\frac{16}{{k}^{2}}+32}$＞2$\sqrt{2}$，
综上可知：则△ABF面积的最小值2$\sqrt{2}$，
故答案为：2$\sqrt{2}$．
方法二：抛物线y²=4x焦点F（1，0），
设直线AB：x=my+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（y₁＞0，y₂＜0），
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：y²-4my-8=0，则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8，
∴△ABF面积S=$\frac{1}{2}$×丨PF丨×丨y₁-y₂丨=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{16{m}^{2}+32}$≥$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
当m=0时，取最小值，最小值为2$\sqrt{2}$，
∴△ABF面积的最小值2$\sqrt{2}$，
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线方程的表示，方法二比方法一更简单，且避免分类讨论，选择合适的方程，会简化计算，属于中档题．