Question

4．已知二次函数f（x）=ax²-4x+c的值域为[0，+∞）．
（1）若c=2，求不等式f（x）＜x-1的解集；
（2）若不等式$\frac{1}{c+1}$+$\frac{9}{a+9}$≤t²-t+$\frac{9}{20}$对任意满足条件的实数a，c都恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由于二次函数f（x）=ax²-4x+c的值域为[0，+∞），所以a＞0，且△=0，从而得到a，c的关系等式，再利用a，c的关系等式解出a，c的值，求出f（x）的表达式，解不等式即可；
（2）结合（1）求出式$\frac{1}{c+1}$+$\frac{9}{a+9}$的最大值是$\frac{6}{5}$，解关于$\frac{6}{5}$≤t²-t+$\frac{9}{20}$的不等式，求出t的范围即可．

解答 解：（1）若c=2，则f（x）=ax²-4x+2＜x-1，
因为二次函数f（x）=ax²-4x+c的值域为[0，+∞），
所以 $\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=16-4ac=0}\end{array}\right.$⇒ac=4⇒c=$\frac{4}{a}$，
∴若c=2，则a=2，
∴f（x）=2x²-4x+2＜x-1，
即（x-1）（2x-3）＜0，解得：1＜x＜$\frac{3}{2}$，
故不等式的解集是（1，$\frac{3}{2}$）；
（2）由（1）得：c=$\frac{4}{a}$，
所以$\frac{1}{c+1}$+$\frac{9}{a+9}$=$\frac{1}{\frac{4}{a}+1}$+$\frac{9}{a+9}$=$\frac{a}{a+4}$+$\frac{9}{a+9}$=$\frac{{a}^{2}+13a+36+5a}{{a}^{2}+13a+36}$=1+$\frac{5}{a+\frac{36}{a}+13}$，
由于 a＞0，a+$\frac{36}{a}$≥12（当且仅当a=6时取等号）
所以1+$\frac{5}{a+\frac{36}{a}+13}$≤$\frac{6}{5}$，
故若不等式$\frac{1}{c+1}$+$\frac{9}{a+9}$≤t²-t+$\frac{9}{20}$对任意满足条件的实数a，c都恒成立，
只需t²-t+$\frac{9}{20}$≥$\frac{6}{5}$，解得：t≥$\frac{3}{2}$或t≤-$\frac{1}{2}$．

点评 此题考查了二次函数的值域，变量的替换及利用均值不等式求最值．