Question

【题目】已知点是圆心为的圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）矩形的边所在直线与曲线均相切，设矩形的面积为，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析：（1）利用定义法求椭圆的轨迹方程；（2）设的方程为， 的方程为，直线与间的距离为，直线与间的距离为， ，从而得到S的范围.

试题解析：

（1)依题，

所以 (为定值)，

所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，

所以点轨迹的方程是

(2)①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时，易得；

②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时，其四边所在直线的斜率存在且不为0，

设的方程为， 的方程为，则的方程为， 的方程为，其中，

直线与间的距离为，

同理直线与间的距离为，

所以

，

因为直线与椭圆相切，所以，所以，同理，

所以

，

(当且仅当时，不等式取等号），

所以，即，

由①②可知， .