Question

设函数f（x）=|x-a|，a∈R．
（1）当a=1时，解不等式：f（x-1）+f（1-x）≤2；
（2）若存在x，使得不等式f（x-a）+f（x+a）≤1-a成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出a=1的f（x）解析式，讨论当x≥2时，当0＜x＜2时，当x≤0时，不等式的解，最后求并集即可；
（2）要使存在x，使得不等式f（x-a）+f（x+a）≤1-a成立，只要求出f（x-a）+f（x+a）的最小值即可，构造函数g（x）=f（x-a）+f（x+a），借助于三角不等式的性质求g（x）的最小值，再解绝对值不等式即可得到a的范围．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x-1）+f（1-x）≤2即为
|x-2|+|x|≤2，
当x≥2时，不等式即为x-2+x≤2，解得x≤2，即有x=2；
当0＜x＜2时，不等式即为2-x+x≤2，成立，即有0＜x＜2；
当x≤0时，不等式即为2-x-x≤2，解得x≥0，即有x=0．
则原不等式的解集为[0，2]；
（2）f（x-a）+f（x+a）≤1-a
设g（x）=f（x-a）+f（x+a）=|x-2a|+|x|，
由|x-2a|+|x|≥|x-2a-x|=|2a|，
得g（x）的最小值为|2a|．
从而存在x，使得不等式f（x-a）+f（x+a）≤1-a成立，
即存在x∈R，使得g（x）≤1-a成立，即有|2a|≤1-a，
即有

1-a≥0 a-1≤2a≤1-a

，解得-1≤a≤

1

3

．
所以a的取值范围为[-1，

1

3

]．

点评：本题考查了绝对值不等式的解法以及绝对值函数的值域的求法，解决存在性问题，注意转化为求函数的最值，属于中档题和易错题．