Question

已知sinα=

4

5

，

π

2

＜α＜π，cosβ=

5

13

，0＜β＜π．
（1）求sin（α+β）的值；
（2）求tan（2α-β）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）依题意，利用同角三角函数间的关系可求得cosα、sinβ的值，再利用两角和的正弦即可求得sin（α+β）的值；
（2）结合（1），易知tanα=-

4

3

，tanβ=

12

5

，利用二倍角的正切可求得tan2α=

24

7

，再利用两角差的正切即可求得tan（2α-β）的值．

解答： 解：（1）∵sinα=

4

5

，

π

2

＜α＜π，∴cosα=-

1-sin2α

=-

3

5

，…2分
∵0＜β＜π，cosβ=

5

13

，∴sinβ=

1-cos2β

=

12

13

…4分
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=

4

5

×

5

13

-

3

5

×

12

13

=-

16

65

…6分
（2）∵tanα=

sinα

cosα

=-

4

3

…7分
∴tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2×(- 4 3 )

1-(- 4 3 )2

=

24

7

…9分
∵tanβ=

sinβ

cosβ

=

12

5

，
∴tan（2α-β）=

tan2α-tanβ

1+tan2αtanβ

=

24 7 - 12 5

1+ 24 7 × 12 5

=

36

323

…12分

点评：本题考查同角三角函数间的关系，考查两角和的正弦、二倍角的正切及两角差的正切的综合应用，属于中档题．