Question

已知函数f（x）=

(x-1)3， x≥1 (1-x)3， x＜1

．若关于x的不等式f（x）＜f（ax+1）的解集中有且仅有2个整数，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：

分析：由题意先将不等式f（x）＜f（ax+1）化简，将问题转化为含绝对值符号的一次不等式的解的问题来处理，则借助于数形结合的思想容易解决问题．

解答： 解：由解析式得：函数f（x）的图象关于直线x=1对称，且当x＞1时，函数递增，
所以f（x）＜f（ax+1）可化为：|x-1|＜|ax+1-1|，
即|x-1|＜||ax|，由于该解集中只有两个整数，所以该集合应该是两边夹的形式，
根据函数y=|x-1|，y=|ax|的图象可知，0＜|a|＜1，
解得

1

1+|a|

＜x＜

1

1-|a|

，记该不等式解集为A，
显然整数1属于A，则有另一个整数2∈A，所以2＜

1

1-|a|

≤3，
解得a∈[-

2

3

，-

1

2

)∪(

1

2

，

2

3

]．
故答案为a∈[-

2

3

，-

1

2

)∪(

1

2

，

2

3

]．

点评：本题考查了利用数形结合思想解决不等式的问题，关键是能根据题意将原不等式进行化简，然后求解．