Question

如图所示，E，F分别为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱B₁C₁和AD的中点，求证：
（1）四边形D₁EBF为平行四边形；
（2）AB₁∥平面D₁EBF．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面平行的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据直线平行的性质即可证明四边形D₁EBF为平行四边形；
（2）根据线面平行的判定定理即可证明AB₁∥平面D₁EBF．

解答： 证明：（1）取BC的中点G，连接C₁G，FG，
则C₁E∥BG，且CE=BG，
则四边形BGC₁E是平行四边形，
则BE∥C₁G，且BE=C₁G，
∵D₁F∥C₁G，且D₁F=C₁G，
∴D₁F∥EB，且D₁F=EB，
四边形D₁EBF为平行四边形；
（2）连接EF，
∵AF∥B₁E，且AF=B₁E，
∴四边形B₁EFA为平行四边形；
∴AB₁∥EF，
∵AB₁∥?平面D₁EBF
∴AB₁∥平面D₁EBF．

点评：本题主要考查空间直线平行的判断和应用，以及线面平行的判定定理的应用．要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．