Question

15．已知函数f（x）=lnx+$\frac{a+e-2}{x}$（a≥0）．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线（1-e）x-y+1=0平行，求a的值；
（2）若不等式f（x）≥a对于x＞0的一切值恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对函数求导，f'（1）=3-a-e，由题意得3-a-e=1-e，即可求a的值；
（2）将所要证明的式子变形，建立一个函数，求导后再建立一个新的函数，再求导．需要用到两次求导．再来通过最值确定正负号，再来确实原函数的单调性．

解答 解：（ 1）函数$f（x）=lnx+\frac{a+e-2}{x}（a≥0）$的定义域为（0，+∞），
$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{a+e-2}{x^2}=\frac{x-a-e+2}{x^2}$，…（2分）
f'（1）=3-a-e，由题意得3-a-e=1-e，…（3分）
解得a=2．…（4分）
（2）不等式f（x）≥a对于x＞0的一切值恒成立，等价于xlnx+a+e-2-ax≥0对于x＞0的一切值恒成立．
记g（x）=xlnx+a+e-2-ax（x＞0），则g'（x）=lnx+1-a．…（6分）
令g'（x）=0，得x=e^a-1，当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表：

x	（0，ea-1）	ea-1	（ea-1，+∞）
g'（x）	_	0	+
g（x）		极小

∴g（x）的最小值为g（e^a-1）=a+e-2-e^a-1．…（8分）
记h（a）=a+e-2-e^a-1（a≥0），则h'（a）=1-e^a-1，令h'（a）=0，得a=1．
当a变化时，h'（a），h（a）的变化情况如下表：

a	0	（0，1）	1	（1，+∞）
h'（a）		+	0	-
h（a）	$e-2-\frac{1}{e}$	↗	极大值e-2	↘

∴当0≤a＜1时，函数h（a）在（0，1）上为增函数，$h（a）≥h（0）=e-2-\frac{1}{e}=\frac{e（e-2）-1}{e}＞0$，即g（x）在（0，+∞）上的最小值h（a）＞0，满足题意．…（10分）
当1≤a≤2时，函数h（a）在[1，2]上为减函数，h（a）≥h（2）=0，即g（x）在（0，+∞）上的最小值h（a）≥0，满足题意．
当a＞2时，函数h（a）在（2，+∞）上为减函数，h（a）＜h（2）=0，即g（x）在（0，+∞）上的最小值h（a）＜0，不满足题意．
综上，所求实数a的取值范围为[0，2]．…（12分）

点评 本题主要考查函数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值．尤其是第二问需要对函数求导后再建立一个新的函数求导，这也是一个常见类型．