Question

3．数列{a_n}，a${\;}_{n}=（-1）^{n+1}\frac{1}{n}$，其前n项和为S_n，求证：S${\;}_{2n}＜\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 推出S_2n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$．放缩相加即得结论．

解答 证明：∵a_n=$\frac{（-1）^{n+1}}{n}$，
∴S_2n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$
=（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n}$）-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$）
=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$．
∴S_2n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$≤$\frac{1}{\sqrt{2}n}$+$\frac{1}{\sqrt{2}n}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2}n}$=n•$\frac{1}{\sqrt{2}n}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
即有S${\;}_{2n}＜\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查数列的求和，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题．