Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，满足：a₁=1，S_n-2S_n-1=1，n∈N^*且n≥2．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若c_n=

n

an

（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等比数列的定义证明即可；
（2）由（1）得an=2n-1，所以cn=n×(

1

2

)n-1，利用错误相减法对数列求和即得结论．

解答： 解：（1）当n≥2时，由

Sn-2Sn-1=1 Sn+1-2Sn=1

两式相减得a_n+1-2a_n=0，即a_n+1=2a_n，
所以

a3

a2

=

a4

a3

=

a5

a4

=…=2（4分）
又当n=2时，S₂-2S₁=1，所以S2=1+2=3，a2=2，

a2

a1

=2（6分）
所以

an+1

an

=2(n∈N*)，所以数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列．（7分）
（2）由（1）得an=2n-1，所以cn=n×(

1

2

)n-1，（8分）
令Tn=1×(

1

2

)0+2×(

1

2

)1+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+…+(n-1)×(

1

2

)n-2+n×(

1

2

)n-1，则

1

2

Tn=1×(

1

2

)1+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+4×(

1

2

)4+…+(n-1)×(

1

2

)n-1+n×(

1

2

)n
两式相减得，

1

2

Tn=(

1

2

)0+(

1

2

)1+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-1-n×(

1

2

)n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n×(

1

2

)n=2-(n+2)×(

1

2

)n
所以Tn=4-(n+2)×(

1

2

)n-1（14分）

点评：本题主要考查利用定义证明数列是等比数列的方法及错误相减法求数列的和，考查学生的运算能力，属难题．