Question

已知{a_n}的各项均为正数的数列，其前n项和为S_n，若2S_n=a_n²+a_n（n≥1），且a₁、a₃、a₇成等比数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=2 an ，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：T_n+4=2b．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用公式a_n=s_n-s_n-1（n≥2）两式作差求得结论；
（2）由（1）数列{b_n}是等比数列，由等比数列的前n项和公式求得T_n，即可得证．

解答： 解：（Ⅰ）∵2S_n=a_n²+a_n（n≥1），
∴n≥2时，2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，
两式相减，得2a_n=

a

2 n

-

a

2 n-1

+a_n-a_n-1，
整理，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1=1，
又2s₁=

a

2 1

+a₁，
即

a

2 1

-a₁=0，解得：a₁=1，
∴{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列．
 又a₁、a₃、a₇成等比数列．
∴

a

2 3

=a₁a₇，即(a1+2)2=a₁（a₁+6），解得a₁=2，
∴a_n=2+（n-1）•1=n+1．
（2）证明：由（1）得b_n=2an=2ⁿ⁺¹，
∴T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹=

4(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺²-4，
∴T_n+4=2ⁿ⁺²=2b_n．

点评：本题主要考查利用公式法求通项公式的方法及等比数列的前n项和公式，考查方程思想的运用能力及运算求解能力，属中档题．