Question

已知函数f（x）=2sin（

1

2

x-

π

6

），x∈R．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的最小正周期；
（3）设α，β∈[0，

π

2

]，f（2α+

π

3

）=

6

5

，f（2β+

4π

3

）=

24

13

．求sin（α-β）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值

分析：（1）根据函数f（x）的解析式求得 f（0）的值．
（2）由f（x）的解析式可得它的最小正周期．
（3）由f（2α+

π

3

）=

6

5

，求得sinα 的值；由f（2β+

4π

3

）=

24

13

，求得cosβ的值，再根据α，β∈[0，

π

2

]，利用同角三角函数的基本关系求得 cosα 和 sinβ 的值，从而求得sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ 的值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=2sin（

1

2

x-

π

6

），x∈R，∴f（0）=2sin（-

π

6

）=-2sin

π

6

=-1．
（2）由f（x）的解析式可得它的最小正周期是 T=

2π

1 2

=4π．
（3）∵f（2α+

π

3

）=2sin[

1

2

（2α+

π

3

）-

π

6

]=2sinα=

6

5

，∴sinα=

3

5

．
f（2β+

4π

3

）=2sin[

1

2

（2β+

4π

3

）-

π

6

]=2sin（β+

π

2

）=2cosβ=

24

13

，∴cosβ=

12

13

．
∵α，β∈[0，

π

2

]，∴cosα=

1-sin2α

=

4

5

，sinβ=

1-cos2β

=

5

13

．
∴sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=

3

5

×

12

13

-

4

5

×

5

13

=

16

65

．

点评：本题主要考查三角恒等变换、三角函数的周期性、同角三角函数的基本关系，属于中档题．