Question

已知正项数列{a_n}的首项a₁=，函数f（x）=，g（x）=．
（1）若正项数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），证明：{}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若正项数列{a_n}满足a_n+1≤f（a_n）（n∈N^*），数列{b_n}满足b_n=，证明：b₁+b₂+…+b_n＜1；
（3）若正项数列{a_n}满足a_n+1=g（a_n），求证：|a_n+1-a_n|≤•（）^n-1．

Answer 1

证明：（1）∵a_n+1=f（a_n）=，所以=，
即
∴{}是以2为首项，1为公差的等差数列，
，即．（3分）
（2）∵a_n+1≤f（a_n）=，a_n＞0，
∴，即，
当n≥2时=
∴
∴．
当n=1时，上式也成立，
∴，（n∈N^*）
∴b_n=≤，
∴b₁+b₂+…+b_n＜=1．（8分）
（3）∵a₁=，a₂=g（a₁）=，a₂-a₁=-=＞0．
又∵a_n+1-a_n=-=，
由迭代关系可知，a_n+1-a_n＞0，∴a_n≥a₁=．
又∵（2+a_n）（2+a_n-1）=（2+）（2+a_n-1）=5+4a_n-1≥7，
∴≤，
∴|a_n+1-a_n|=|a_n-a_n-1|≤|a_n-a_n-1|，
∴|a_n+1-a_n|≤|a_n-a_n-1|≤（）²|a_n-1-a_n-2|≤…≤（）^n-1|a₂-a₁|=（）^n-1．（13分）
分析：（1）利用a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），推出a_n+1与a_n的关系，然后推出{}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）通过a_n+1≤f（a_n）（n∈N^*），推出，利用b_n=，放大b_n，然后通过求和b₁+b₂+…+b_n证明结论．
（3）由题意推出a₂-a₁＞0．证明a_n+1-a_n＞0，数列是递增数列，推出|a_n+1-a_n|与|a_n-a_n-1|的关系，通过放缩法证明即可．
点评：本题考查放缩法的应用，等差关系的确定，数列与不等式的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．