Question

等差数列{a_n}的前项和为S_n，若a₁＞0，存在大于2的自然数k，使a_k=S_k，则（　　）

• A、{a_n}递增，S_n有最大值
• B、{a_n}递增，S_n有最小值
• C、{a_n}递减，S_n有最大值
• D、{a_n}递减，S_n有最小值

Answer 1

分析：根据所给的条件a_k=S_k，用首项和公差表示出等式，因为首项是正数，所以把首项用公差和k来表示，这个表示式大于零，得到公差是一个负数，即数列是一个递减数列，s_n存在最大值．

解答：解：∵a_k=S_k，
∴a₁+（k-1）d=ka₁+

k(k-1)

2

d，
∴a₁（1-k）=（1-k）d+

k(k-1)

2

d
∴a₁=d-

k

2

d=d（1-

k

2

），
∵a₁＞0，
∴d（1-

k

2

）＞0，
∵k是大于2的自然数，
∴1-

k

2

＜0
∴d＜0，
即数列是一个递减数列，s_n存在最大值，
故选C．

点评：本题没有具体的数字运算，它考查的是等差数列的性质，实际上这类问题比具体的数字运算要困难，是几个知识点结合起来的综合问题．