Question

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），其中0≤φ＜π，ω＞1．
（1）若φ=

π

2

，f（x）在区间[0，

π

4

]上单调递减，在区间[

π

4

，

π

3

]上单调递增，求ω的值．
（2）若f（x）为奇函数，f（x）的图象关于点M（

π

2

，0）对称，且在区间[0，

π

8

]上是单调函数，求ω的取值范围．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）由f（x）在区间[0，

π

4

]上单调递减，在区间[

π

4

，

π

3

]上单调递增，即当x=

π

4

时，f（x）取最小值-2，可得ω=8K-4，k∈Z，ω＞1．
（2）由f（x）为奇函数，先求φ=0，由f（x）的图象关于点M（

π

2

，0）对称，可得ω=2k，k∈Z
又在区间[0，

π

8

]上是单调函数，可得

2π

ω

≥

π

4

即可解得ω≤8，综上可解．

解答： 解：（1）∵f（x）在区间[0，

π

4

]上单调递减，在区间[

π

4

，

π

3

]上单调递增，
∴x=

π

4

时，f（x）=2sin（ωx+φ）=-2，
∴ω×

π

4

+

π

2

=2kπ-

π

2

，k∈Z
∴ω=8K-4，k∈Z，ω＞1
∴当k=1时，有ω=4．
（2）∵f（x）为奇函数，函数f（x）=2sin（ωx+φ），其中0≤φ＜π，∴φ=0
∵f（x）的图象关于点M（

π

2

，0）对称，∴ω×

π

2

=kπ，ω＞1．
∴ω=2k，k∈Z
∵在区间[0，

π

8

]上是单调函数，
∴

2π

ω

≥

π

4

∴解得ω≤8
∴综上有，ω的取值范围为：1＜ω≤8且，ω=2k（k∈Z）．

点评：本题主要考察了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．