Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是对角线AB₁、BC₁上的点，且

B1M

MA

=

C1N

NB

，求证：MN∥平面A₁B₁C₁D₁（写出三种作法）

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：方法一、在平面AA₁B₁B内，作MK∥AB，交BB₁于K点，连接KN，利用“面面平行”⇒“线面平行”即可．
方法二、连接BM，延长交A₁B₁于L，连接C₁L，运用平行线分线段成比例的逆定理，证得MN∥C₁L，由线面平行的判定定理，即可得证；
方法三、分别在平面AB₁，和平面BC₁中，过M作MH∥BB₁，过N作NG∥BB₁，运用平行线分线段成比例，证得四边形MNGH为平行四边形，再由线面平行的判定定理，即可得证．

解答： 证法一：在平面AA₁B₁B内，作MK∥AB，交BB₁于K点，连接KN，
则易知

B1M

MA

=

B1K

KB

；
∵

B1M

MA

=

C1N

NB

，
∴

B1K

KB

=

C1N

NB

，
∴KN∥B₁C₁，又A₁B₁∥AB，∴MK∥A₁B₁．
∴平面MKN∥平面A₁B₁C₁D₁，而MN?平面MKN，
∴MN∥平面A₁B₁C₁D₁．
证法二：连接BM，延长交A₁B₁于L，连接C₁L，
则

B1M

MA

=

ML

MB

，又

B1M

MA

=

C1N

NB

，
则

ML

MB

=

C1N

NB

，即有MN∥C₁L，
MN?平面A₁B₁C₁D₁．C₁L?平面A₁B₁C₁D₁．
则MN∥平面A₁B₁C₁D₁．
证法三、分别在平面AB₁，和平面BC₁中，
过M作MH∥BB₁，过N作NG∥BB₁，
则MH∥NG，由于

MH

AA1

=

B1M

B1A

=

C1N

C1B

=

NG

B1B

，
即有MH=NG，则四边形MNGH为平行四边形，
则有MN∥GH，MN?平面A₁B₁C₁D₁．GH?平面A₁B₁C₁D₁．
则有MN∥平面A₁B₁C₁D₁．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查作辅助线进行推理证明的能力，属于中档题．