Question

在四面体PABC中，PA=PB=PC=AB，如果PA与平面ABC所成的角等于60°，则PC与平面PAB所成的角的最大值是

 

．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：如图所示，过点P作PO⊥平面ABC，连接OA，OB，OC．取AB的中点D，连接OD，PA．可知∠PAO是PA与平面ABC所成的角，其大小等于60°．不妨设PA=2，可得PO=

3

，PD=

3

．得到点O与D必然重合．当且仅当CD⊥AB时，PC与平面PAB所成的角取得最大值．

解答： 解：如图所示，过点P作PO⊥平面ABC，
连接OA，OB，OC．取AB的中点D，连接OD，PA．
则∠PAO是PA与平面ABC所成的角，其大小等于60°．
不妨设PA=2=AB=PB=PC，则PO=

3

．
∴PD=

3

．
因此点O与D必然重合．
可知：点C在以O为圆心，AB为直径的圆周上运动（去掉A，B两点）．
当且仅当CD⊥AB时，PC与平面PAB所成的角取得最大值60°．
故答案为：60°．

点评：本题考查了线面垂直的性质、线面角、三角形的外心性质、含30°角的直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．