Question

设函数f（x）=x²-2|x|-3．
（1）画出y=f（x）的图象，并指出y=f（x）的单调递增区间；
（2）判断y=f（x）的奇偶性，并求y=f（x）的值域；
（3）方程f（x）=k+1有两解，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数图象的作法,函数奇偶性的判断,函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）需将函数解析式改写成分段函数后在画图；
（2）利用整体思想把|x|先看成整体，然后再去绝对值；
（3）方程有两个解即函数y=f（x）和函数y=k+1的图象有两个交点，利用数形结合思想分析问题．

解答： 解（1）f（x）=x²-2|x|+1=

x2-2x+1，x≥0 x2+2x+1，x＜0

，图象如图（1）所示：

两部分都是抛物线的一部分，对称轴分别为x=-1、x=1，
f（x）的递增区间为（-1，0），（1，+∞）
（2）∵f（-x）=（-x）²-2|-x|-3=x²-2|x|-3=f（x），∴f（x）是偶函数，
函数值域为[-4，+∞）
（3）由图象（2）分析可知当方程f（x）=k+1有两解时，k+1=-4或k+1＞-3，
∴k=-5或k＞-4

点评：本题只要考查分段函数以及分段函数的画法，同时考查利用图象研究函数的性质，属于基础题．