Question

设约束条件

y≥0 y≤x y≤2-x t≤x≤t+1(0＜t＜1)

所确定的平面区域为D．
（1）记平面区域D的面积为S=f（t），试求f（t）的表达式．
（2）设向量

a

=（1，-1），

b

=（2，-1），Q（x，y）在平面区域D（含边界）上，

OQ

=m

a

+n

b

，（m，n∈R），当面积S取到最大值时，用x，y表示m+3n，并求m+3n的最大值．

Answer 1

考点：简单线性规划的应用

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）作出题中约束条件所确定的平面区域，得它的形状是由等腰Rt△OCF，减去等腰Rt△OAB和等腰Rt△DEF而得的一个五边形．根据题意算出三个等腰直角形的面积，得到该平面区域的面积S=f（t）是关于t的二次函数．
（2）利用已知条件的向量关系，求出m+3n与x、y的关系式，然后利用可行域求出最值即可．

解答： 解：（1）作出题中约束条件所确定的平面区域，如右图阴影部分
则S_△OAB

1

2

|OA|•|AB|=

1

2

t2，S_△DEF=

1

2

|DE|•|EF|=

1

2

（1-t）²，
∴五边形ABCDE面积S=S_△OCF-S_△OAB-S_△DEF
=

1

2

×2×1-

1

2

t2-

1

2

（1-t）²=-t²+t+

1

2

即f（t）=-t²+t+

1

2

，其中0＜t＜1
（2）向量

a

=（1，-1），

b

=（2，-1），Q（x，y）在平面区域D（含边界）上，

OQ

=m

a

+n

b

，
可得（x，y）=m（1，-1）+n（2，-1），可得

x=m+2n y=-m-n

，令z=m+3n，
∴z=m+3n=2x+y，
m+3n的最大值就是2x+y的最大值，由（1）可知可行域始终包含（1，1）点，并且直线2x+y=z经过（1，1）点时取得最大值：3，

点评：本题在平面直角坐标系中，求区域图形面积的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和二次函数的图象与性质等知识，属于中档题．