Question

已知α∈(0，

π

2

)，且tan(α+

π

4

)=3，则log₅（sinα+2cosα）+log₅（3sinα+cosα）=

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数,对数的运算性质,三角函数的化简求值

专题：计算题,三角函数的求值

分析：由tan(α+

π

4

)=

tanα+1

1-tanα

=3，可解得tanα=

1

2

，故有log₅（sinα+2cosα）+log₅（3sinα+cosα）=log5

3sin2α+7sinαcosα+2cos2α

sin2α+cos2α

=1．

解答： 解：∵利用两角和的正切公式得tan(α+

π

4

)=

tanα+1

1-tanα

=3，
∴tanα=

1

2

，
∴log₅（sinα+2cosα）+log₅（3sinα+cosα）
=log5

3sin2α+7sinαcosα+2cos2α

sin2α+cos2α

=log5

3tan2α+7tanα+2

tan2α+1

=log₅5
=1
故答案为：1

点评：本题主要考查了两角和与差的正切函数公式的应用，考查了对数的运算性质，属于基本知识的考查．