Question

已知函数f（x）=sinωxcosωx+

3

cos2ωx-

3

2

（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）试说明由正弦曲线y=sinx如何变换得到函数f（x）的图象．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin(2ωx+

π

3

)，从而根据周期公式可求得ω的值，从而得到解析式，即可求出单调递增区间；
（Ⅱ）将正弦曲线y=sinx的图象向左平移

π

3

，得到函数y=sin（x+

π

3

）的图象，再将所得图象横坐标缩小为原来的

1

2

，即可得函数y=sin（2x+

π

3

）的图象．

解答： 解：（I）f(x)=sinωxcosωx+

3

cos2ωx-

3

2

(ω＞0)=

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx=sin(2ωx+

π

3

)…（3分）
∵f（x）的最小正周期为π，且ω＞0．
∴

2π

2ω

=π，∴ω=1，…（4分）
∴f(x)=sin(2x+

π

3

)．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z…（5分）
得f（x）的增区间为[-

5

12

π+kπ，

π

12

+kπ](k∈Z)…（6分）
（II）将正弦曲线y=sinx的图象向左平移

π

3

，得到函数y=sin（x+

π

3

）的图象，再将所得图象横坐标缩小为原来的

1

2

，即可得函数y=sin（2x+

π

3

）的图象．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，考查了三角函数的图象变换理论，属于基本知识的考查．