【题目】如图,在直三棱柱中,
是线段
上一点.
点.
(1)确定的位置,使得平面
平面
;
(2)若平面
,设二面角
的大小为
,求证:
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)当时,可证明
平面
,再根据平面几何知识求解即可;(2)以
、
、
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面
的一个法向量及平面
的一个法向量,利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
试题解析:(1)当时,∵
,∴由射影定理得
,∴
.
∵平面
,∴
.
∵,∴
平面
.
又平面
,∴当
时,平面
平面
.
(2)以、
、
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
,
.
连接交
于点
,则
为
的中点.
∵平面平面
,且
平面
,∴
,∴
为
的中点.
∴,
,
设平面的法向量为
,
则,且
,
令,可取平面
的一个法向量
,
而平面的一个法向量为
,
∴,∵二面角
为锐角,
∴,又
,∴
.
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【题目】如图,我海监船在岛海域例行维权巡航,某时刻航行至
处,此时测得其东北方向与它相距32海里的
处有一外国船只,且
岛位于海监船正东
海里处.
(1)求此时该外国船只与岛的距离;
(2)观测中发现,此外国船只正以每小时8海里的速度沿正南方向航行,为了将该船拦截在离岛24海里处,不让其进入
岛24海里内的海域,试确定海监船的航向,并求其速度的最小值.(参考数据:
)
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【题目】以下茎叶图记录了甲,乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以表示.
(1)如果,求乙组同学植树棵数的平均数和方差;
(2)如果,分别从甲,乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为19的概率.(注:方差
,其中
为
,
,……,
的平均数)
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【题目】对于函数,若在定义域内存在实数
,满足
,则称
为“局部奇函数”.
为定义在
上的“局部奇函数”;
曲线
与
轴交于不同的两点;
若为假命题,
为真命题,求
的取值范围.
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【题目】在一次水下考古活动中,某一潜水员需潜水米到水底进行考古作业.其用氧量包含一下三个方面:①下潜平均速度为
米/分钟,每分钟用氧量为
升;②水底作业时间范围是最少
分钟最多
分钟,每分钟用氧量为
升;③返回水面时,平均速度为
米/分钟,每分钟用氧量为
升.潜水员在此次考古活动中的总用氧量为
升.
(1)如果水底作业时间是分钟,将
表示为
的函数;
(2)若,水底作业时间为
分钟,求总用氧量
的取值范围;
(3)若潜水员携带氧气升,请问潜水员最多在水下多少分钟(结果取整数)?
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【题目】如图已知是边长为
的正方形
的中心,点
分别是
的中点,沿对角线
把正方形
折成二面角
.
(1)证明:四面体的外接球的体积为定值,并求出定值;
(2)若二面角为直二面角,求二面角
的余弦值.
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