Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）用反证法证明：在上，不存在不同的两点，，使得的图象在这两点处的切线相互平行．

Answer 1

【答案】（1），．（2）不存在

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出， 得增区间，得减区间；（Ⅱ）假设存在不同的两点满足题意，则，化简可得，结合，可得结果.

试题解析：（Ⅰ），

令，解得或，

所以函数的单调递增区间为，．　

（Ⅱ）假设存在不同的两点满足题意，则，

化简得.

因为，所以，

又，，所以，只需，这显然与相矛盾．

所以假设不成立，满足题意的两点是不存在的．

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间.