【题目】已知数列
的前
项和为
，且满足
．
（1）求证：数列
为等比数列；
（2）若
，求
的前
项和
．
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】试题分析：（1）利用
，化简得
，故
是等比数列；（2）由于
，相等于一个等差数列乘以一个等比数列，所以考虑用错位相减求和法求前
项和为
.
试题解析：
（1）当
时， 
，解得
；．．．．．．．．．．．．．．．1分
当
时， 
，两式相减得
，．．．．．．．．．．．．．．．．3分
化简得
，所以数列
是首项为1，公比为-1的等比数列．．．．．．．．．．5分
（2）由（1）可得
，所以
，下提供三种求和方法供参考：．．．．．．．6分
【错位相减法】
，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
两式相减得
．．．．．．．．．．．．．．．．9分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
所以数列
的前
项和
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
【并项求和法】
当
为偶数时， 
；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
当
为奇数时， 
为偶数， 
；．．．．．．．．．．．．11分
综上，数列
的前
项和
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
【裂项相消法】
因为
．．．．．．．．．．．．．．9分
所以
，
所以数列
的前
项和
．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】为了解防震知识在中学生中的普及情况，某地震部门命制了一份满分为10分的问卷到红星中学做问卷调查．该校甲、乙两个班各被随机抽取
名学生接受问卷调查，甲班
名学生得分为5，8，9，9，9乙班5名学生得分为6，7，8，9，10．
（Ⅰ）请你估计甲乙两个班中，哪个班的问卷得分更稳定一些；
（Ⅱ）如果把乙班5名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概率．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图所示，已知圆
的圆心在直线
上，且该圆存在两点关于直线
对称，又圆
与直线
相切，过点
的动直线
与圆
相交于
两点，
是
的中点，直线
与
相交于点
．
（1）求圆
的方程；
（2）当
时，求直线
的方程；
（3）
是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，已知椭圆
：
的离心率
，过点
，
的直线与原点的距离为
，
是椭圆上任一点，从原点
向圆
：
作两条切线，分别交椭圆于点
，
.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若记直线
，
的斜率分别为
，
，试求
的值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】（本小题满分12分）
如图，在五棱锥
中，
，且
.
（1）已知点
在线段
上，确定
的位置，使得
；
（2）点
分别在线段
上，若沿直线
将四边形
向上翻折，
与
恰好重合，求直线
与平面
所成角的正弦值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，我海监船在
岛海域例行维权巡航，某时刻航行至
处，此时测得其东北方向与它相距32海里的
处有一外国船只，且
岛位于海监船正东
海里处．
（1）求此时该外国船只与
岛的距离；
（2）观测中发现，此外国船只正以每小时8海里的速度沿正南方向航行，为了将该船拦截在离
岛24海里处，不让其进入
岛24海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值．（参考数据： 
）
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某车间为了制作某个零件，需从一块扇形的钢板余料（如图1）中按照图2的方式裁剪一块矩形钢板
，其中顶点
、
在半径
上，顶点
在半径
上，顶点
在
上， 
， 
.设
，矩形
的面积为
.
（1）用含
的式子表示
， 
的长；
（2）试将
表示为
的函数；
（3）求
的最大值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】一个盒子中装有5张编号依次为1、2、3、4、5的卡片，这5 张卡片除号码外完全相同.现进行有放回的连续抽取2 次，每次任意地取出一张卡片.
（1）求出所有可能结果数，并列出所有可能结果；
（2）求事件“取出卡片号码之和不小于7 或小于5”的概率.
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