Question

【题目】如图，已知椭圆：的离心率，过点，的直线与原点的距离为，是椭圆上任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若记直线，的斜率分别为，，试求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】【试题分析】（1）依据题设条件及基本量之间的关系建立建立方程组求解；（2）运用直线与圆的位置关系联立方程组，借助坐标之间的关系分析探求：

（Ⅰ）因为离心率，所以，而，

所以，即①

设过点，的直线方程为，

即，

因为直线与原点的距离为，

所以，整理得：②

由①②得，

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）因为直线：，：，与圆相切，由直线和圆相切的条件：，可得，

平方整理，可得，

，

所以，是方程的两个不相等的实数根，，因为点在椭圆上，所以，即，所以为定值；