【题目】已知正项数列为等比数列,等差数列
的前
项和为
,且满足:
.
(1)求数列,
的通项公式;
(2)设,求
;
(3)设,问是否存在正整数
,使得
.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
试题分析:(1)借助题设条件运用等差数列的有关知识建立方程组求解;(2)借助题设运用错位相减法求和;(3)依据题设运用分类整合思想分析推证和探求.
试题解析:
(1)因为数列为等差数列,且
,
即,解得
,公差为3,.............2分
所以,得
..............3分
又,
所以....................5分
(2),.........①
则,..............②
将①—②得:
所以...................8分
(3)因为,
当时,
,不等,...........9分
当时,
,
成立,...............10分
当且为奇数时,
为偶数,
为奇数,
所以为偶数,
为奇数,不成立,.............12分
当,且
为偶数时,若
,
即,..................13分
得.............(*)
因为,所以(*)不成立.......15分
综上得............................16分
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【题目】如图,某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场,按照设计要求,休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域,周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分),道路的宽度均为2米.怎样设计矩形休闲广场的长和宽,才能使绿化区域的总面积最大?并求出其最大面积.
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【题目】如图所示,已知圆的圆心在直线
上,且该圆存在两点关于直线
对称,又圆
与直线
相切,过点
的动直线
与圆
相交于
两点,
是
的中点,直线
与
相交于点
.
(1)求圆的方程;
(2)当时,求直线
的方程;
(3)是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,请说明理由.
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【题目】某工厂第一季度某产品月生产量依次为10万件,12万件,13万件,为了预测以后每个月的产量,以这3个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量(单位:万件)与月份
的关系. 模拟函数
;模拟函数
.
(1)已知4月份的产量为万件,问选用哪个函数作为模拟函数好?
(2)受工厂设备的影响,全年的每月产量都不超过15万件,请选用合适的模拟函数预测6月份的产量.
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【题目】如图,已知椭圆:
的离心率
,过点
,
的直线与原点的距离为
,
是椭圆上任一点,从原点
向圆
:
作两条切线,分别交椭圆于点
,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若记直线,
的斜率分别为
,
,试求
的值.
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【题目】(本小题满分12分)
如图,在五棱锥中,
,且
.
(1)已知点在线段
上,确定
的位置,使得
;
(2)点分别在线段
上,若沿直线
将四边形
向上翻折,
与
恰好重合,求直线
与平面
所成角的正弦值.
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【题目】某车间为了制作某个零件,需从一块扇形的钢板余料(如图1)中按照图2的方式裁剪一块矩形钢板,其中顶点
、
在半径
上,顶点
在半径
上,顶点
在
上,
,
.设
,矩形
的面积为
.
(1)用含的式子表示
,
的长;
(2)试将表示为
的函数;
(3)求的最大值.
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