Question

【题目】某车间为了制作某个零件，需从一块扇形的钢板余料（如图1）中按照图2的方式裁剪一块矩形钢板，其中顶点、在半径上，顶点在半径上，顶点在上， ， .设，矩形的面积为.

（1）用含的式子表示， 的长；

（2）试将表示为的函数；

（3）求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）, ;（2） （）;（3）.

【解析】试题分析：(1)直角三角形中，根据锐角三角函数的定义即可表示出 的值；(2 )求出,代入面积公式得出S关于的函数；(3)利用二倍角公式及辅助角公式，三角恒等变换化简,根据的范围和正弦函数的性质即可得出S的最大值.

试题解析：（1）因为，四边形是矩形，

所以在中， .

所以.

在中， .

（2）在中， .

所以.

所以

（）.

（3）因为 ，

（），

所以，当，即时， 取得最大值.

【方法点晴】本题考查的知识点比较多，主要考查等比数列的定义、余弦定理及三角函数的最值，属于难题.求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式利用三角函数有界性求最值；③型，可化为求最值 .本题（3）是利用方法③的思路解答的.