【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调区间;
(2)若,
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1) 求出函数的导数,通过讨论 的范围,
得增区间,
得减区间; (2)问题转化为
,讨论
的范围,根据函数的单调性求出
的最小值即可求出
的范围.
试题解析:(1).
(i)当时,
,函数
在
上单调递增;
(ii)当时,令
,则
,
当,即
,函数
单调递增;
当,即
时,函数
单调递减.
综上,当时,函数
在
上单调递增;当
时,函数
的单调递增区间是
,单调递减区间是
.
(2)令,由(1)可知,函数
的最小值为
,所以
,即
.
恒成立与
恒成立等价,
令,即
,则
.
①当时,
.(或令
,则
在
上递增,∴
,∴
在
上递增,∴
.
∴).
∴在区间
上单调递增,
∴,
∴恒成立.
②当时,令
,则
,
当时,
,函数
单调递增.
又,
,
∴存在,使得
,故当
时,
,即
,故函数
在
上单调递减;当
时,
,即
,故函数
在
上单调递增,
∴,
即,
不恒成立,
综上所述, 的取值范围是
.
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【题目】如图所示,已知圆的圆心在直线
上,且该圆存在两点关于直线
对称,又圆
与直线
相切,过点
的动直线
与圆
相交于
两点,
是
的中点,直线
与
相交于点
.
(1)求圆的方程;
(2)当时,求直线
的方程;
(3)是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,请说明理由.
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【题目】某车间为了制作某个零件,需从一块扇形的钢板余料(如图1)中按照图2的方式裁剪一块矩形钢板,其中顶点
、
在半径
上,顶点
在半径
上,顶点
在
上,
,
.设
,矩形
的面积为
.
(1)用含的式子表示
,
的长;
(2)试将表示为
的函数;
(3)求的最大值.
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【题目】已知圆满足:①圆心在第一象限,截
轴所得弦长为2;②被
轴分成两段圆弧,其弧长的比为
;③圆心到直线
的距离为
.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)若点是直线
上的动点,过点
分别做圆
的两条切线,切点分别为
,
,求证:直线
过定点.
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【题目】对于函数,若在定义域内存在实数
,满足
,则称
为“局部奇函数”.
为定义在
上的“局部奇函数”;
曲线
与
轴交于不同的两点;
若为假命题,
为真命题,求
的取值范围.
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【题目】一个盒子中装有5张编号依次为1、2、3、4、5的卡片,这5 张卡片除号码外完全相同.现进行有放回的连续抽取2 次,每次任意地取出一张卡片.
(1)求出所有可能结果数,并列出所有可能结果;
(2)求事件“取出卡片号码之和不小于7 或小于5”的概率.
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