Question

【题目】已知圆满足：①圆心在第一象限，截轴所得弦长为2；②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为；③圆心到直线的距离为.

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）若点是直线上的动点，过点分别做圆的两条切线，切点分别为， ，求证：直线过定点.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）设出圆的圆心坐标，可得到圆截 轴所得劣弧对的圆心角为 ，由垂径定理得到圆截 轴的弦长，找出 及的关系式，，联立得到的关系式；然后利用点到直线的距离公式求出到直线 的距离，让其等于，从而得到的又一关系式，可求出的值，得到圆心的坐标，然后利用求出圆的半径r，根据圆心和半径写出圆的方程即可．
（Ⅱ）设点 以为圆心， 为半径的圆的方程为 又（ 由①②得 ，即（ 可得直线PQ过定点

试题解析：（Ⅰ）设圆的圆心为（， ），半径为，

则点到轴， 轴的距离分别为， .

由题设知圆截轴所得劣弧对的圆心角为，知圆截轴所得的弦长为，

故，

又圆被轴所截得的弦长为2，所以有，从而得.

又因为到直线的距离为，所以，

即有，由此有或.

解方程组得或（舍）

于是，所求圆的方程是

（Ⅱ）设点的坐标为，

以点为圆心，以为半径圆的方程为，

联立圆和圆的方程：

得直线的方程为：

即，直线过定点.