【题目】如图,在三棱柱中,
是边长为4的正方形.平面
⊥平面
,
.
(1)求证: ⊥平面ABC;
(2)求二面角的余弦值;
(3)证明:在线段存在点
,使得
,并求
的值.
【答案】(1)见解析(2)(3)
【解析】试题分析:(1)由题意,可根据面面垂直的性质定理进行证明,因为平面垂直于平面
,且交线为
,又
,从而问题可得证;在(2)、(3)由题意,可采用坐标法,再通过向量的共线、垂直关系,以及数量积等的运算,从而问题可得解.
试题解析:(1)证明 在正方形中,
.
又平面平面
,且平面
平面
,
∴平面
.
(2)解:由(1)知,
,由题意知,
在中,
,
∴,
∴.
∴以A为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系A-xyz.
,
于是 ,
,
,
,
设平面法向量为
,
令
与平面所成角正弦值为
.
(3)假设存在点是直线
上一点,使
,且
.
,解得
,
,
又,∴0+3(3-3λ)-16λ=0,解得
,
因为,所以在线段
上存在点D,使得
.此时
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知圆满足:①圆心在第一象限,截
轴所得弦长为2;②被
轴分成两段圆弧,其弧长的比为
;③圆心到直线
的距离为
.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)若点是直线
上的动点,过点
分别做圆
的两条切线,切点分别为
,
,求证:直线
过定点.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】平面直角坐标系中,椭圆
:
(
)的离心率是
,抛物线
:
的焦点
是
的一个顶点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是
上的动点,且位于第一象限,
在点
处的切线
与
交于不同的两点
,
,线段
的中点为
,直线
与过
且垂直于
轴的直线交于点
.
(i)求证:点在定直线上;
(ii)直线与
轴交于点
,记△
的面积为
,△
的面积为
,求
的最大值及取得最大值时点
的坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点是椭圆
上任一点,点
到直线
的距离为
,到点
的距离为
,且
.直线
与椭圆
交于不同两点
(
都在
轴上方),且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)当为椭圆与
轴正半轴的交点时,求直线
方程;
(3)对于动直线,是否存在一个定点,无论
如何变化,直线
总经过此定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.
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